根据企业会计准则，对外币交易的会计处理，企业应当将外币金额折算为记账本位币金额。对于你们支付给国际客户的777美金现钞奖励，首先需要确保有相关的交易证据，例如：

1. 客户奖励协议或合同，详细说明奖励的性质、金额和支付条件。
2. 支付凭证，如收据或银行转账记录，证明资金的流出。
3. 相关的内部审批文件，确保该支付符合公司的政策和程序。

在账务处理方面，假设公司的记账本位币不是美元，按照以下步骤进行：

1. 记录支付时： 借：应付账款 - 外币（777美金，按支付日的即期汇率折算成记账本位币） 贷：库存现金 - 外币（777美金）

2. 在期末，根据期末汇率调整外币账户的余额，计算汇兑损益： 如果汇率上升，会产生汇兑损失，会计分录为： 借：财务费用 - 汇兑损失 贷：应付账款 - 外币

如果汇率下降，会产生汇兑收益，会计分录为： 借：应付账款 - 外币 贷：财务费用 - 汇兑收益

请确保所有的会计处理都符合当地的税收法规，并咨询专业会计师以获取更详细的指导。