如果公司聘请的评估机构以2024年5月31日为基准日评估的固定资产价值低于其账面价值，那么根据评估结果，公司可能需要进行以下账务处理：

1. 确认减值损失：根据评估结果，如果固定资产的可收回金额低于其账面价值，公司应当根据评估结果在财务报表中确认固定资产的减值损失。这通常涉及借记“资产减值损失”科目，贷记“固定资产减值准备”。

2. 计提减值准备：在确认减值损失的基础上，需要计提相应的固定资产减值准备，借记“资产减值损失”，贷记“固定资产减值准备”。

3. 调整固定资产账面价值：根据评估结果，可能需要调整固定资产的账面价值，以反映其公允价值减去处置费用后的净额。

4. 更新财务报表：在财务报表中体现这一变化，反映资产的最新状况。

请注意，如果在资产负债表日后（比如2024年6月1日至12月31日期间）发现了新的信息，且该信息表明2024年5月31日的评估结果是错误的，那么可能需要调整之前的会计估计。例如，如果在后续期间出售了部分资产或收到了新的信息，如市场价格变动，可能需要重新评估并调整之前的会计估计。

1. 考虑处置计划：如果公司计划出售这批固定资产，那么在出售完成前，可能需要设立“待处理财产损溢”科目，以反映这部分固定资产的账面价值，直到出售完成时转销。

请注意，这些处理应当在遵循企业会计准则第8号——资产减值（2006）的规定进行。